Mit der Zinseszins-Formel rechnest du aus, wie stark ein Betrag wächst, wenn die Zinsen jedes Jahr mitverzinst werden. Sie besteht aus nur drei Zutaten: Startkapital, Zinssatz und Laufzeit. Hier lernst du die Formel, ihre Erweiterung für regelmäßige Sparraten und den Effekt unterjähriger Zinsgutschriften kennen.
Die Grundformel
Die Zinseszins-Formel lautet:
K_n = K_0 · (1 + p)^n
- K_n ist das Endkapital nach n Jahren.
- K_0 ist das Startkapital.
- p ist der Zinssatz pro Jahr als Dezimalzahl (5 % = 0,05).
- n ist die Anzahl der Jahre.
Der Ausdruck (1 + p) heißt Zinsfaktor, oft mit q abgekürzt. Bei 5 % ist q = 1,05. Jedes Jahr wird das Kapital mit diesem Faktor multipliziert. Nach n Jahren hast du also n-mal multipliziert, daher die Potenz.
Rechenbeispiel: 10.000 € zu 5 %
Du legst 10.000 € zu 5 % pro Jahr an und lässt die Zinsen stehen.
- Nach 1 Jahr: 10.000 € · 1,05 = 10.500 €
- Nach 2 Jahren: 10.500 € · 1,05 = 11.025 €
- Nach 3 Jahren: 11.025 € · 1,05 = 11.576,25 €
Im zweiten Jahr bekommst du 525 € Zinsen statt 500 €, weil die 500 € aus dem ersten Jahr mitverzinst werden. Genau das ist der Zinseszins.
Zinseszins gegen einfachen Zins
Beim einfachen Zins werden die Zinsen ausgezahlt und nicht wieder angelegt. Das Kapital wächst dann jedes Jahr um denselben festen Betrag. Die Formel dafür lautet K_n = K_0 · (1 + p · n). Der Unterschied ist anfangs klein und wird mit der Zeit groß:
| Jahre | Einfacher Zins | Zinseszins | Differenz |
|---|---|---|---|
| 1 | 10.500,00 € | 10.500,00 € | 0,00 € |
| 10 | 15.000,00 € | 16.288,95 € | 1.288,95 € |
| 20 | 20.000,00 € | 26.532,98 € | 6.532,98 € |
| 30 | 25.000,00 € | 43.219,42 € | 18.219,42 € |
Startkapital 10.000 €, Zinssatz 5 % pro Jahr, jährliche Zinsgutschrift.
Nach 30 Jahren hat sich das Geld mit Zinseszins mehr als vervierfacht. Mit einfachem Zins hat es sich nur um das 2,5-Fache vermehrt. Die Laufzeit ist also der stärkste Hebel. Wie schnell sich ein Betrag verdoppelt, kannst du mit der 72er-Regel im Kopf überschlagen.
Das bekannte Zitat, der Zinseszins sei das achte Weltwunder, wird übrigens Albert Einstein zugeschrieben. Belegt ist es nicht.
Die Formel umstellen
Oft kennst du das Ziel und suchst eine andere Größe. Die Formel lässt sich nach jeder Variable auflösen.
Benötigtes Startkapital (Barwert)
K_0 = K_n / (1 + p)^n
Beispiel: Du willst in 15 Jahren 50.000 € haben und rechnest mit 4 % Zins. Dann brauchst du heute 50.000 € / 1,04^15 = 27.763,23 €.
Nötiger Zinssatz
p = (K_n / K_0)^(1/n) − 1
Beispiel: Aus 10.000 € sollen in 12 Jahren 20.000 € werden. Dann brauchst du (2)^(1/12) − 1 = rund 5,95 % pro Jahr.
Nötige Laufzeit
n = ln(K_n / K_0) / ln(1 + p)
Beispiel: Bei 5 % dauert eine Verdopplung ln(2) / ln(1,05) = rund 14,2 Jahre.
Zinseszins mit Sparrate: die Sparkassenformel
Die meisten Menschen legen nicht nur einmal Geld an, sondern sparen regelmäßig. Dafür erweitert man die Grundformel um einen Rentenfaktor. Diese Erweiterung heißt Sparkassenformel.
Bei einer jährlichen Rate R am Jahresende (nachschüssig) gilt:
K_n = K_0 · q^n + R · (q^n − 1) / (q − 1)
Zahlst du die Rate am Jahresanfang ein (vorschüssig), wird jede Rate ein Jahr länger verzinst. Der zweite Teil bekommt dann zusätzlich den Faktor q:
K_n = K_0 · q^n + R · q · (q^n − 1) / (q − 1)
Beispiel ohne Startkapital: 1.200 € pro Jahr, 5 %, 20 Jahre.
- nachschüssig: 1.200 € · (1,05^20 − 1) / 0,05 = 39.679,14 €
- vorschüssig: 39.679,14 € · 1,05 = 41.663,10 €
Eingezahlt hast du in beiden Fällen 24.000 €.
Monatliche Sparrate bei jährlicher Zinsgutschrift
Viele Sparpläne laufen monatlich, die Zinsen werden aber einmal im Jahr gutgeschrieben. Innerhalb des Jahres verzinst sich jede Monatsrate dann einfach und anteilig für die Monate, die sie auf dem Konto liegt. Zahlst du zum Monatsanfang ein, liegt die Januarrate 12 Monate, die Dezemberrate 1 Monat. Zusammen ergibt das 78 Zinsmonate.
Daraus entsteht eine sogenannte Ersatzrate, die du in die nachschüssige Formel einsetzt:
R = s · (12 + 6,5 · p)
Dabei ist s die Monatsrate. Die 6,5 kommt aus 78 / 12.
Beispiel: 5.000 € Startkapital, 100 € pro Monat, 5 %, 20 Jahre, Einzahlung zum Monatsanfang, jährliche Zinsgutschrift.
- Ersatzrate: 100 € · (12 + 6,5 · 0,05) = 1.232,50 € pro Jahr
- Startkapital: 5.000 € · 1,05^20 = 13.266,49 €
- Sparraten: 1.232,50 € · (1,05^20 − 1) / 0,05 = 40.753,79 €
- Endkapital: 13.266,49 € + 40.753,79 € = 54.020,28 €
Eingezahlt hast du 29.000 €. Die übrigen 25.020,28 € sind Zinsen und Zinseszinsen. Wenn du selbst mit Raten und Laufzeiten spielen willst, nutze den Sparplan-Rechner.
Unterjährige Verzinsung
Werden die Zinsen mehrmals im Jahr gutgeschrieben, wirkt der Zinseszins schon innerhalb des Jahres. Bei m Gutschriften pro Jahr lautet die Formel:
K_n = K_0 · (1 + p / m)^(m · n)
Aus dem nominalen Jahreszins wird so ein etwas höherer effektiver Jahreszins:
p_eff = (1 + p / m)^m − 1
Rechenbeispiel: 10.000 € zu 5 % über 10 Jahre
| Zinsgutschrift | Endkapital nach 10 Jahren | Effektiver Jahreszins |
|---|---|---|
| jährlich (m = 1) | 16.288,95 € | 5,00 % |
| halbjährlich (m = 2) | 16.386,16 € | 5,06 % |
| vierteljährlich (m = 4) | 16.436,19 € | 5,09 % |
| monatlich (m = 12) | 16.470,09 € | 5,12 % |
| täglich (m = 365) | 16.486,65 € | 5,13 % |
Der Unterschied zwischen jährlicher und monatlicher Gutschrift beträgt hier rund 181 € in zehn Jahren. Das ist spürbar, aber weit weniger wichtig als Zinssatz und Laufzeit. Selbst bei unendlich vielen Gutschriften (stetige Verzinsung, K_0 · e^(p · n)) kommst du nur auf 16.487,21 €.
Für den Vergleich von Angeboten ist deshalb der effektive Jahreszins die richtige Kennzahl. Er macht Produkte mit unterschiedlichen Gutschriftsintervallen vergleichbar.
Was die Formel nicht abbildet
Die Formel setzt einen festen Zinssatz über die gesamte Laufzeit voraus. Bei Tagesgeld ändert sich der Zins jedoch laufend. Bei Aktien und ETFs gibt es gar keinen festen Zins, nur schwankende Renditen, die nicht garantiert sind. Rechnest du dort mit 5 oder 7 %, ist das eine Annahme über einen Durchschnitt.
Außerdem fehlen Steuern, Kosten und Inflation. Alle drei bremsen den Zinseszins, weil sie jedes Jahr einen Teil des Ertrags abziehen. Wie stark das ausfällt, zeigen die Artikel zu Steuern auf Kapitalerträge, Inflation und Kaufkraft und Fondskosten.
Zusammengefasst
- Grundformel: K_n = K_0 · (1 + p)^n
- Mit jährlicher Rate: K_n = K_0 · q^n + R · (q^n − 1) / (q − 1)
- Monatsrate zum Monatsanfang bei jährlicher Gutschrift: Ersatzrate R = s · (12 + 6,5 · p)
- Unterjährig: K_n = K_0 · (1 + p / m)^(m · n)
Die Formeln im Kopf zu haben hilft beim Verständnis. Für konkrete Zahlen ist der Zinseszinsrechner schneller: Du stellst Startkapital, Zins und Laufzeit ein und siehst sofort, wie dein Geld wächst.
Dieser Artikel dient der allgemeinen Information und ist keine Anlage-, Steuer- oder Rechtsberatung.